√
(d) 0 < x ∈ ℝ \ ℚ ⇒
x ∈ ℝ \ ℚ;
Na przykład gdy 6 = 2 · 3,
to można użyć jakiegokolwiek
(e) x ∈ ℚ \ { 0 }, y ∈ ℝ \ ℚ ⇒ x + y, x · y ∈ ℝ \ ℚ;
z dzielników 6.
(f) log 5 , log 10 ∈
2
2
ℝ \ ℚ;
(g) a, b ∈ ℕ , a, b > 1 , NWD( a, b) = 1 ⇒ log b ∈
a
ℝ \ ℚ.
Zadanie 7.93.
Wykazać przeliczalność zbiorów:
√
(a) {a + b 5 | a ∈ ℤ , b ∈ ℚ },
(d) {a − b | a, b ∈ ℚ ∩ [0 , ∞) },
√
(b) {a + b 7 | a ∈ ℚ ∩ [0 , ∞) , b ∈ ℤ },
√
√
√
(c) {a 2 + b 3 + c 5 | a, b ∈ ℤ , c ∈ ℚ },
(e) {x ∈ ℚ | x 4 + 3 x 2 > 7 }.
Zbadać, które z tych zbiorów są gęste w ℝ.
Zadanie 7.94.
Pokazać równoliczność następujących zbiorów:
(a) ( − 3 , 5) ∼ (3 , 5),
(f) (3 , 5) ∪ (6 , 8) ∪ (10 , 12) ∪ (14 , 16) ∼ (3 , 5), (b) [ − 3 , 5) ∼ (3 , 5],
(g) (3 , 5) ∼ ( − 5 , ∞),
(c) [ − 3 , 5) ∼ (3 , 5),
(h) [3 , 5] ∼ (5 , ∞),
(d) [ − 3 , 5] ∼ [3 , 5),
(i) [5 , ∞) ∼ ( −∞, − 5),
(e) [ − 3 , 5] ∼ (3 , 5),
(j) ℝ ∼ ℝ \ { 0 }.
8
Kresy górne i dolne
Zadanie 8.95.
Podać definicję kresu górnego i dolnego wraz
z interpretacją.
A
Zadanie 8.96.
Wskazać kresy podanych zbiorów:
17
Analiza matematyczna I, /
Zestawy zadań
Krzysztof Rykaczewski
(a) 𝔸 = [ − 4 , 3),
(d) 𝔻 = {x ∈ ℝ | x 2 − 8 x + 7 <
(g) 𝔾 = { cos x | x ∈ ℚ },
0 },
n
o
(b)
1
𝔹 = (0 , 6) ∪ { 1 , 4 , 7 , 8 },
(h)
| n ∈
,
(e)
ℍ =
ℕ
𝔼 = {x ∈ ℚ | x 2 < 1 },
2 n+1
(c) ℂ = {x ∈ ℝ | |x + 3 | < 4 },
(f) 𝔽 = {x ∈ ℕ | 2 x < 30 },
(i) 𝕀 = (0 , 2) ∩ ℚ.
Zadanie 8.97.
Zbadać ograniczoność i wyznaczyć kresy następujących zbiorów:
n
o
(a) A = {x sin x | x ­ 0 };
(d) D =
1 + ( − 1) n | n ∈
;
n 2
ℕ
(b) B = x ∈ ℝ | x > 0 , sin 1 = 0 ;

x
(e) E = x 2 − 6 x + 9 = 0 | x ∈ ℝ ;
(c) C = {( − 1) nn | n ∈ ℕ };
(f) F = x sin 1 | x > 0 .
x
Zadanie 8.98.
Wyznaczyć kresy następujących zbiorów:
n
o
n
o
(a) A =
n
| n ∈
;
(e) E =
n
| n ∈
;
n+1
ℕ
3 n+1
ℕ
n
o
n
o
(b) B =
n
| n, k ∈
;
(f) F =
1
| n ∈
;
n+ k
ℕ
1 − 3 n
ℕ
(c) C = 1 + π | n, k ∈
;
(g) G = n | n ∈
;
n
k
ℕ
en
ℕ
n
o
n
o
(d) D =
1 + ( − 1) n | n ∈
;
(h) H =
1
√
+
1
√
| m, n ∈
.
n
ℕ
n m
m n
ℕ
Zadanie 8.99.
Zbadać ograniczoność i wyznaczyć kresy następujących zbiorów:
(a) A = {x ∈ ℝ | ||x − 1 | − 1 | < 1 };
(c) C = {x ∈ ℝ | | 2 x + 3 | + |x + 3 | − x < 6 };
n
o
(b) B =
1 + 1 | x ∈
;
|x|
ℝ \ { 0 }
(d) D = {x ∈ ℝ | | 2 x − 5 | < 3 }.
n
o
Zadanie 8.100.
Niech A
nk
k :=
| n ∈
, gdzie k ∈
1+ k+ n
ℕ
ℕ.
(a) Wyznaczyć kresy zbiorów Ak.
(b) Zbadać ograniczoność i wyznaczyć kresy zbioru S ∞ A
k=1
k .
Zadanie 8.101.
Znaleźć kresy następujących zbiorów
(a) A = 3 + 1 | n ∈
,
(k) K = x ∈
n
ℕ
ℝ | x 2 + 3 x < 1 ,
(b) B = [0 , 3),
n
o
(l) L =
x 2
| x ∈
,
1+ x 2
ℝ
(c) C = (3 , 5) ∩ ℚ,
√
(m) † M = cos x | x ∈ 0 , π ,
(d) D = [ 2 , ∞) ∩
2
ℚ,


n
o
(n) † N = cos x | x ∈ 0 , π ∩
,
(e) E =
n
| n ∈
,
4
ℚ
3 n+1
ℕ
(o) O = x 2 + 3 x | x ∈ (0 , 1) ,
(f) F = { 2 −n | n ∈ ℕ },
n
o
(g) G = 1 + 1 | n, m ∈
,
(p) P =
1 ± n
| n ∈
,
n
m
ℕ
2
2 n+1
ℕ
(h) H = 1 + 1 + 1 | n, m, k ∈
,
n
m
k
ℕ
n
o
(q) Q =
xy
| 0 < x, y ∈
,
x 2+ y 2
ℝ
(i) I = [0 , 2] ∩ ℝ \ ℚ,
n
xy
o
(j) J = 1 | x ∈ (0 , 1) ,
(r) R =
| 0 < x, y ∈ ℝ \ ℚ .
x
x 2+ y 2
18
Analiza matematyczna I, /
Zestawy zadań
Krzysztof Rykaczewski
Zadanie 8.102.
Pokazać, że zbiór
(
)
√
r
q
√
q
√
S =
c,
c +
c,
c +
c +
c, . . .
,
(gdzie c ⩾ 0) jest ograniczony. Wybrać konkretną wartość c (np. c = 2) i znaleźć jego kresy.
n
o
Zadanie 8.103.
Niech X =
1 ± n
| n = 1 , 2 , . . . . Dowieść, że inf X = 0 oraz sup X = 1.
2
2 n+1
n
o
Zadanie 8.104.
Niech C
k
k =
| n ∈
przy k ∈
nk+1
ℕ
ℕ. Wyznaczyć:
∞
(a) kresy zbiorów Ck;
(b) kresy zbioru S Ck.
k=1
Zadanie 8.105. (*)
Niech A ⊂ ℝ będzie ograniczony. Utwórzmy zbiór
B = {y ∈ ℝ | ∃x∈A y = |x|}.
Pokazać, że zbiór B jest ograniczony oraz sup B = max {| sup A|, | inf A|}.
Zadanie 8.106. (*)
Niech D = (0 , 1) ∩ (ℝ \ ℚ). Uzasadnić, że (2 · D) − (2 · D) = ( − 2 , 2).
Zadanie 8.107.
Pokazać, że jeśli A, B ⊂ ℝ są ograniczone, A, B ⊂ [0 , + ∞), to
(a) sup α · A = α · sup A (przy α > 0);
(f) inf( A ∪ B) = min { inf A, inf B};
(b) inf α · A = α · inf A (przy α > 0);
(g) sup( A + B) = sup A + sup B;
(c) inf( −A) = − sup A;
(h) inf( A + B) = inf A + inf B;
(d) sup( −A) = − inf A;
(i) inf( A · B) = (inf A) · (inf B);
(e) sup( A ∪ B) = max { sup A, sup B};
(j) sup( A · B) = (sup A) · (sup B).
Wskazać gdzie nie potrzeba zakładać jednoczesnej ograniczoności z gory i z dołu. Co się dzieje w (a) i w
(b), gdy α < 0?
Zadanie 8.108.
Pokazać, że inf( A − B) = inf A − sup B.
Zadanie 8.109.
Niech A ⊂ ℝ będzie ograniczony, zaś α < 0. Zaproponować ”wzór” na inf( α · A), a
następnie go sprawdzić.
Zadanie 8.110.
Niech A, B ⊂ ℝ będą ograniczone. Pokazać, że nie istnieje ”wzór” na inf( A ∩ B).
Dokładniej, wskazać takie pary niepustych zbiorów ograniczonych A, B ⊂ ℝ oraz ˜
A, ˜
B ⊂ ℝ, że
inf( A ∩ B) 6= inf( ˜
A ∩ ˜
B), chociaż inf( A) = inf( ˜
A) i inf( B) = inf( ˜
B).
Oznaczenia. Definiujemy działania (algebraiczne) na podzbiorach A, B ⊂ ℝ:
(a) −A = {c ∈ ℝ | ∃a∈A c = −a},
(c) α · A = {c ∈ ℝ | ∃a∈A c = α · a},
(b) A + B = {c ∈ ℝ | ∃a∈A ∃b∈B c = a + b},
(d) A · B = {c ∈ ℝ | ∃a∈A ∃b∈B c = a · b}.
19
Analiza matematyczna I, /
Zestawy zadań
Krzysztof Rykaczewski
9
Ciągi liczbowe
Zadanie 9.111.
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym an = 3 n+1 . Wyznaczyć:
( n+1)!
(a) a 2 n,
(b) an+1 − an,
(c) an+2 ,
(d) a 2 .
a
n
n− 1
Zadanie 9.112.
Wyznaczyć wszystkie ujemne wyrazy ciągu:
an = n 3 − 4 n 2 − n + 4 .
Zadanie 9.113.