Znaleźć h− 1 (0 , 3 ], gdzie h = g ◦ f .
2
Zadanie 21.894.
Niech f : [ − 7 , 4] →
2
ℝ dana będzie wzorem f ( x) = [ x] (część całkowita x). Znaleźć
f − 1 ( −∞, − 3] ∪ (2 , 4 1 ).
3
Własność
Dla dowolnych A, B zachodzi f − 1( A ∪ B) = f − 1( A) ∪ f − 1( B).
21.2 Praca domowa 2 Zadanie 21.895.
Za pomocą zasady indukcji matematycznej pokazać, że:
(a) 1 + 2 + . . . + n = n( n+1) ,
(e) 1 + 2 + 22 + . . . + 2 n = 2 n+1 − 1,
2
(b) 12 + 22 + . . . + n 2 = n( n+1)(2 n+1) ,
6
(f) 1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n · ( n + 1) = 1 n( n + 1)( n + 2), 3
(c) 13 + 23 + . . . + n 3 = (1 + 2 + . . . + n)2,
(d) 12 + 32 + . . . + (2 n + 1)2 = ( n+1)(4 n 2+8 n+3) ,
(g) 23 + 43 + . . . + (2 n)3 = 2(2 + 4 + . . . + 2 n)2.
3
Zadanie 21.896.
Udowodnić, że
(a) dla dowolnego n ∈ ℕ liczba postaci 34 n+2 + 1 jest podzielna przez 10,
(b) dla dowolnego n ∈ ℕ liczba postaci 13 n − 7 jest podzielna przez 6,
(c) dla dowolnego n ∈ ℕ liczba postaci n 3 − n jest podzielna przez 6,
(d) dla dowolnego n ∈ ℕ liczba postaci 4 n + 15 n − 1 jest podzielna przez 9,
(e) dla dowolnego n ∈ ℕ liczba postaci n 7 − n jest podzielna przez 7,
(f) dla dowolnego n ∈ ℕ liczba postaci 10 n + 4 n − 2 jest podzielna przez 3,
(g) dla dowolnego n ∈ ℕ liczba postaci n 3 + 2 n jest podzielna przez 3,
(h) dla dowolnego n ∈ ℕ liczba postaci 26 n+1 + 32 n+2 jest podzielna przez 11.
Zadanie 21.897.
Udowodnić, że dla każdego n ∈ ℕ oraz x ∈ ℝ zachodzi nierówność:
| sin( nx) | ¬ n| sin( x) |
Zadanie 21.898.
Pokazać, że dla dowolnego n ∈ ℕ jest prawdziwa równość:
1
1
1
1
n
+
+
+ . . . +
=
1 · 3
3 · 5
5 · 7
(2 n − 1)(2 n + 1)
2 n + 1
Zadanie 21.899.
Pokazać, że dla dowolnego n 3 ℕ jest prawdziwa równość:
1
1
1
n
+
+ . . . +
=
1 · 2
2 · 3
n( n + 1)
n + 1
Zadanie 21.900.
Udowodnić, że dla każdych a, b > 0 , n ∈ ℕ jest prawdziwa nierówność
( a + b) n < 2 n( an + bn) .
118
Analiza matematyczna I, /
Zestawy zadań
Krzysztof Rykaczewski
Zadanie 21.901.
Udowodnić, że dla każdej n ­ 3 jest prawdziwa nierówność
3 n > n · 2 n.
119
Analiza matematyczna I, /
Zestawy zadań
Krzysztof Rykaczewski
Bibliografia
[1] Witold Bednarek, 150 zadań z matematyki elementarnej, Annał, Łódź 1999
[2] Włodzimierz Krysicki oraz Lech Włodarski, Analiza Matematyczna w Zadaniach, Tom 1-2,
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006
[3] Józef Banaś oraz Stanisław Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej,
Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2006
[4] Wiesława J. Kaczor oraz Maria T. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, Cz. 1-3,
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006
[5] Wojciech Kryszewski, Wykład analizy matematycznej, Wydawnictwo UMK, Toruń 2009
[6] Marian Gewert oraz Zbigniew Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania,
Wydawnictwo Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 2005
[7] Kazimierz Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej,
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1978
[8] Grigorij Michajłowicz Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1966
120