Krok drugi ( maximization) prowadzi do wyznaczenia wektora parametrów maksymalizującego funkcję wiarygodności, co stanowi rozwiązanie systemu nieliniowych równań (10)–(12). Hamilton (1990) udowodnił, że ciąg otrzyma-nych w ten sposób oszacowań jest zbieżny do lokalnego maksimum funkcji wiarygodności3.


4. Przełącznikowy model Markowa dla kursów wymiany złotego Przedmiotem
badań będzie heteroskedastyczny przełącznikowy model Markowa postaci (1), w którym zmienna st oznacza dwustanowy łańcuch Markowa: st = 1 oznacza stan (reżim) wysokiej zmienności kursu walutowego, natomiast st = 2 oznacza stan niskiej zmienności kursu walutowego. Zatem przełącznikowy model Markowa dostarcza informacji o średnich poziomach logarytmicznych stóp zwrotu kursów walutowych w zależności od obowiązującego reżimu (parametry µ1 i µ2), wariancjach składnika losowego charakteryzujących poszczególne stany (parametry 2
σ i 2
σ ) oraz prawdopodobieństwach przejścia
1
2
ze stanu do stanu (parametry p11 i p22).
Badania empiryczne zostały przeprowadzone w oparciu o średnie dzienne notowania NBP kursu PLN/USD i PLN /CHF w okresie 02.01.1998 –
28.02.2005 oraz PLN/EUR w okresie 01.01.1999 – 28.02.2005. Estymację parametrów tego modelu przeprowadzono w pakiecie Ox wykorzystując kody programowe napisane przez Hamiltona:

Na podstawie wyników zamieszczonych w tabeli 1 można wnioskować, iż wartości oczekiwane i wariancje przypisane odpowiednim stanom różnią się od siebie dla każdego kursu walutowego. Przykładowo wyniki uzyskane dla stóp zwrotu PLN/USD wskazują, iż w reżimie wysokiej zmienności kursu walutowego średnia dzienna stopa zwrotu z inwestycji w USD wynosi około 0,11%, 2 Por. Dempster A.P., Laird N.M., Rubin D.B., (1977), s. 1–38.
3 Por. Hamilton J. D., (1990), s. 39–70.
182
Aneta Włodarczyk, Marcin Zawada
co odpowiada deprecjacji złotego, natomiast w reżimie niskiej zmienności złoty wzmacniał się średnio o 0,06% dziennie. Wariancja odpowiadająca pierwszemu reżimowi jest ponad czterokrotnie wyższa od wariancji charakteryzującej drugi reżim, co uzasadnia wybór modelu przełącznikowego do opisu zachowania kursu PLN/USD. Należy zwrócić ponadto uwagę, iż prawdopodobieństwa utrzy-mania się stanów wysokiej i niskiej zmienności są wysokie, co odzwierciedla efekt grupowania wariancji w szeregach stóp zwrotu. Różnice w oszacowa-niach parametrów dla poszczególnych walut mogą wynikać z ich specyficznych własności.

Tabela 1. Parametry przełącznikowego modelu Markowa
waluta
PLN /EUR
PLN /CHF
PLN /USD
wektor θ
n = 1558
n = 1813
n = 1813
µ1
0.173334 (0.0937124)
0.248328 (0.0831591)
0.108561 (0.054556)
µ2
-0.0339755 (0.015884)
-0.0377841 (0.0162546)
-0.057882 (0.017087)
p11
0.896028 (0.0342493)
0.88785 (0.0250588)
0.911902 (0.0247608)
p22
0.981794 (0.00577913)
0.981469 (0.00491669)
0.964546 (0.010212)
σ 2
1
1.71207
2.08652
1.11068
(0.247454)
(0.194277)
(0.137022)
σ 2
2
0.290798 (0.0161122)
0.332519 (0.0152418)
0.248586 (0.0236443)
ρ1
0.1490121 0.1418033 0.286956
P(s1 = 1/ΦT;θ)
0.0942
0.0145
0.0345
P(sT = 1/ΦT;θ) 0.0169
0.0237
0.0837
Log lik
- 99.4226
- 239.662
- 145.349
Źródło: Obliczenia własne. W nawiasach podano błędy standardowe ocen parametrów modelu oszacowane na podstawie drugich pochodnych logarytmu funkcji wiarygodności.

Tabela 2. Testy weryfikujące dynamiczną specyfikację przełącznikowego modelu Markowa
Test
PLN /USD
PLN/EUR
PLN /CHF
Test White na autokorelację 10.3457
10.535346
9.684355
Test White na efekt ARCH
9.529311
11.418597
12.974499
Test White na własność Markowa
3.91021
9.374302
11.970283
Test LM na autokorelację w reżimie 1 0.623541
2.818197
4.727319
Test LM na autokorelację w reżimie 2 0.025730
8.02875**
4.5622
Test LM na autokorelację na prze-
0.093286 10.105234**
7.655025**
strzeni reżimów
Test LM na efekt ARCH
4.20014
3.767907
5.622368
Źródło: obliczenia własne, * *oznacza istotność wyniku na poziomie 1 %.

Następnie zastosowano testy weryfikujące dynamiczną specyfikację modelu przełącznikowego (por. Hamilton 1996):